Статьи

  Пример однозначной функции с графиком, всюду плотным на плоскости

  Однозначная функция, определенная на всей оси ОХ и принимающая на любом непустом интервале значения на всей оси ОУ

  Об адекватности иллюстративных примеров определениям и теоремам

  Функция, имеющая производную и не имеющая ее на всюду плотных множествах действительных чисел

  Непрерывная функция, имеющая собственные минимумы и максимумы в любом интервале изменения аргумента

  Непрерывная функция, имеющая производную и несовпадающие односторонние производные на всюду плотных множествах

  Функция со всюду плотными множествами: точек разрыва, точек собственных минимумов и максимумов, точек существования производной

  Строго монотонная функция, имеющая нулевую производную и точки перегиба на множестве, всюду плотном на [0, 1]

  Дифференцируемая строго монотонная функция с производной, равной нулю на множестве меры, близкой к полной

  Простой пример функции с графиком, всюду плотным на плоскости

  Простые примеры непростых функций

  Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции

  Фракталы и построение примеров нетривиальных функций

  Всюду разрывная функция нескольких переменных, имеющая производную по всем направлениям во всех точках, за исключением счетных их множеств

Вы можете связаться со мной по электронной почте: vmshib@yandex.ru

Дифференцируемая строго монотонная функция с производной, равной нулю на множестве меры, близкой к полной

В.М. Шибинский

Определим на отрезке [0,1] функцию

,(1)

которая является суммой функционального ряда, составленного из функций  Функция  определяется на отрезке [0,1] следующим образом. Отрезок [0,1] разбивается на  равных частей (отрезков) точками

. (2)

На первом отрезке функция  равна нулю, на начальной части второго отрезка, длина которой  (- произвольное малое число), гладко возрастает от нуля до значения , а затем сохраняет постоянное значение, далее на каждом последующем -ом отрезке, на начальной его части длинной  гладко возрастает от значения   до , а затем сохраняет это значение. Гладкое возрастание функции от точки  до точки  определим следующим образом, см. рис.1,

 .(3)

Таким образом, функция  представляет собой ступенчатую монотонную функцию, составленную из  ступеньки. Соседние ступеньки соединяются (гладко сопрягаются) кривыми (3). На рис.2 изображены первые три члена  ряда (1). Каждая из функций   дифференцируема на всем отрезке [0, 1], ее производная равна нулю кроме участков сопряжения ступенек, где производная равна производной функции (3)

. (4)

Производная (4) неотрицательна, равна нулю на концах участков сопряжения (при ) и ограничена величиной .

Таким образом, производная функции  удовлетворяет ограничениям

(5)

Сама функция   ограничена по своему построению

. (6)

Из ограничений (6) и (5) следует, что ряд (1) и ряд , составленный из производных, мажорируются сходящимися числовыми рядами, следовательно, они равномерно сходятся на отрезке [0, 1]. Согласно известной теореме, при равномерной сходимости рядов (1) и  ряд (1) можно почленно дифференцировать на [0, 1]. В результате такого почленного дифференцирования получаем, что производная  функции  равна нулю в тех точках, где каждая из производных   равна нулю. Иными словами , в точках отрезка [0, 1], лежащих вне интервалов, где производные  функций  не равны нулю, такие интервалы назовем интервалами сопряжения. Общая длина  интервалов сопряжения равна

(7)

Обозначим  - множество  точек , в которых , , где - объединение всех интервалов сопряжения. Так как некоторые  интервалы сопряжения лежат в интервалах сопряжения с меньшими значениями , см. рис.2 , то мера  множества  в силу (7) имеет следующую оценку

. (8)

Покажем, что функция  строго монотонная на [0,1]. Рассмотрим две любые точки  и  , принадлежащие [0,1]. В силу монотонного возрастания каждой из функций , выполняется . Очевидно также, что по крайней мере при всех , при которых , хотя бы один интервал сопряжения лежит внутри  и, следовательно,  выполняется . Иными словами, для некоторого конечного числа первых членов ряда (1) выполняется отношение , а для бесконечного числа всех последующих членов ряда (1) выполняется отношение  . Отсюда следует, что  , а значит , и функция  строго монотонна на [0, 1]. Заметим, что , так как   по определению, а , так как

и .

Таким образом, можно сказать, что функция , при изменении  от 0 до 1, строго монотонно возрастает от 0 до 1, при этом мера множества  точек , в которых , может быть сколь угодно близкой к полной, т.е. к единице -  мере всего отрезка [0, 1], см. оценку (8). Заметим, что каждая из точек  множества  есть точка перегиба, так как в силу равенства  касательная к графику функции  в точке  горизонтальна, а функция  строго монотонна, и ее график расположен левее  строго ниже, а правее  строго выше названной касательной.

Построенный выше пример дифференцируемой строго монотонной функции,  пример непрерывной монотонной функции, так называемой канторовой лестницы, приведенный в [1], пример разрывной строго монотонной функции, данный в [2], показывают, что достаточно жесткое требование монотонности не лишает функции возможности иметь нетривиальные свойства. Знакомство с перечисленными примерами функций полезно студентам, изучающим математический анализ и теорию функций.   

Список литературы

1.     Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.

2.     Шибинский В.М. Строго монотонная функция, имеющая нулевую производную и точки перегиба на множестве, всюду плотном на [0, 1]. (Публикуется в настоящем сборнике).

Выходные данные статьи: