Статьи

  Пример однозначной функции с графиком, всюду плотным на плоскости

  Однозначная функция, определенная на всей оси ОХ и принимающая на любом непустом интервале значения на всей оси ОУ

  Об адекватности иллюстративных примеров определениям и теоремам

  Функция, имеющая производную и не имеющая ее на всюду плотных множествах действительных чисел

  Непрерывная функция, имеющая собственные минимумы и максимумы в любом интервале изменения аргумента

  Непрерывная функция, имеющая производную и несовпадающие односторонние производные на всюду плотных множествах

  Функция со всюду плотными множествами: точек разрыва, точек собственных минимумов и максимумов, точек существования производной

  Строго монотонная функция, имеющая нулевую производную и точки перегиба на множестве, всюду плотном на [0, 1]

  Дифференцируемая строго монотонная функция с производной, равной нулю на множестве меры, близкой к полной

  Простой пример функции с графиком, всюду плотным на плоскости

  Простые примеры непростых функций

  Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции

  Фракталы и построение примеров нетривиальных функций

  Всюду разрывная функция нескольких переменных, имеющая производную по всем направлениям во всех точках, за исключением счетных их множеств

Вы можете связаться со мной по электронной почте: vmshib@yandex.ru

Фракталы и построение примеров нетривиальных функций

В.М. Шибинский

Самоподобие и другие замечательные свойства фракталов позволяют определять с их помощью различные нетривиальные функции. Наглядность и простота структуры фракталов привносят при этом наглядность и краткость в обоснования свойств построенных функций. Там, где аналогичные функции строились с использованием аналитического подхода, см. [1-4], доказательства их свойств были достаточно сложны и объемны. Это не позволяло, при всем желании использовать поучительные примеры таких функций в учебном процессе. Использование примеров нетривиальных функций, построенных с применением фракталов, уже вполне возможно в учебном процессе. 

Построим в единичном квадрате  плоскости  фрактал, см. рисунок. Разобьем единичный квадрат на девять квадратов с длинами сторон . Стороны среднего из них включаем во фрактал. Далее аналогично поступаем с каждым из этих девяти квадратов: разбиваем его на девять квадратов с длинами сторон , стороны среднего из них включаем во фрактал (всего включаем стороны девяти квадратов). Затем аналогично поступаем с каждым из полученных на предыдущем шаге восьмидесяти одним квадратом: разбиваем его на девять квадратов с длинами сторон  и стороны среднего из них включаем во фрактал (всего включаем стороны восьмидесяти одного квадрата). Описанный итерационный процесс неограниченно продолжаем. В результате получаем фрактал, состоящий из непересекающихся квадратов с длинами сторон , (здесь и ниже для краткости под принадлежащими фракталу квадратами будем понимать только стороны квадратов, эти квадраты назовем фрактальными). По своему построению внутренность каждого фрактального квадрата подобна всему фракталу. Очевидно, также, что точки фрактала располагаются всюду плотно в единичном квадрате. Центр некоторого фрактального квадрата является также и центром для концентрических фрактальных квадратов любого меньшего размера.

Используем данный фрактал для построения функций с замечательными свойствами.

1.       Зададим на единичном квадрате  функцию следующим образом

   (1)

Покажем, что функция (1) имеет точки разрыва всюду плотно расположенные в единичном квадрате. Действительно, в любой точке фрактала (она принадлежит одному из его квадратов) функция положительна. Однако в любой окрестности такой точки лежат точки, не принадлежащие фракталу, в которых значение функции равно нулю.

В тоже время, функция дифференцируема в точках, также расположенных всюду плотно в единичном квадрате. Рассмотрим центр любого фрактального квадрата (пусть длина стороны этого квадрата равна ), имеющий координаты  . По построению фрактала этот центр не лежит ни на одном фрактальном квадрате, следовательно . Покажем, что приращение функции в точке  может быть записано в виде

                             (2)

где , что означает дифференцируемость функции (1) в точке . Действительно, рассмотрим произвольную -окрестность, , точки . Внутри этой окрестности могут лежать только точки фрактальных квадратов с длинами сторон , меньшими , . Получаем в данной окрестности . Так как , при , убеждаемся в справедливости (2). Заметим, наконец, что центры фрактальных квадратов, т.е. точки дифференцируемости функции (1), всюду плотно располагаются в единичном квадрате. 

   Рассмотрим сечение фрактала и функции (1) прямой АА, см. рисунок. Полученная функция  (ее график показан в нижней части рисунка и несколько растянут по оси  для наглядности) также определена на фрактале, который является сечением исходного фрактала, и обладает свойствами, аналогичными свойствам функции (1).  

2.       Зададим на единичном квадрате  функцию следующим образом

       (3)

где  и  - верхняя левая и нижняя правая, а  и  - верхняя правая и нижняя левая вершины фрактального квадрата,  - длина его стороны.

Функция (3) по ее заданию обладает теми же свойствами, что и функция (1). Но дополнительно к этому, она в вершинах фрактальных квадратов  и  имеет собственные локальные максимумы, а в вершинах  и  имеет собственные локальные минимумы. Действительно, если длина стороны фрактального квадрата равна , то в любой проколотой -окрестности, , вершин   и  ( и ) все значения функции (3) будут меньше (больше), чем в самой вершине, так как в эту окрестность попадут только вершины квадратов меньшего размера. Заметим, что множества вершин  и  ( и ) всюду плотны в единичном квадрате.

3.  Зададим на единичном квадрате  функцию следующим образом

    (4)

где  - координата  верхней левой вершины, а  - длина стороны фрактального квадрата. Иными словами, функция (4) определена на верхней стороне каждого фрактального квадрата, исключая ее концы (вершины квадрата), как полный период котангенса. Следовательно, функция (4) принимает все действительные значения на верхней стороне каждого фрактального квадрата. Учитывая то, что в любой окрестности любой точки единичного квадрата лежат фрактальные квадраты, получаем, что функция (4) принимает все действительные значения в такой произвольной окрестности.

Список литературы

1.     Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.

2.     Шибинский В.М. Функция, имеющая производную и не имеющая ее на всюду плотных множествах действительных чисел// XIII Ломоносовские чтения: Сборник научных трудов. – Архангельск: Поморский госуниверситет, 2001.

3.     Шибинский В.М. Функция  со всюду плотными на оси  множествами: точек разрыва, точек собственных максимумов и минимумов, точек существования производной// С именем Ломоносова: Сборник научных статей и тезисов докладов. – Архангельск, 2002. 

4.     Шибинский В.М. Функция, принимающая на любом непустом интервале все действительные значения// Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. – Архангельск: Издательство ПГУ, 2002. Вып.5.

Выходные данные статьи: