Статьи

  Пример однозначной функции с графиком, всюду плотным на плоскости

  Однозначная функция, определенная на всей оси ОХ и принимающая на любом непустом интервале значения на всей оси ОУ

  Об адекватности иллюстративных примеров определениям и теоремам

  Функция, имеющая производную и не имеющая ее на всюду плотных множествах действительных чисел

  Непрерывная функция, имеющая собственные минимумы и максимумы в любом интервале изменения аргумента

  Непрерывная функция, имеющая производную и несовпадающие односторонние производные на всюду плотных множествах

  Функция со всюду плотными множествами: точек разрыва, точек собственных минимумов и максимумов, точек существования производной

  Строго монотонная функция, имеющая нулевую производную и точки перегиба на множестве, всюду плотном на [0, 1]

  Дифференцируемая строго монотонная функция с производной, равной нулю на множестве меры, близкой к полной

  Простой пример функции с графиком, всюду плотным на плоскости

  Простые примеры непростых функций

  Фрактал и построение всюду непрерывной, но нигде недифференцируемой функции

  Фракталы и построение примеров нетривиальных функций

  Всюду разрывная функция нескольких переменных, имеющая производную по всем направлениям во всех точках, за исключением счетных их множеств

Вы можете связаться со мной по электронной почте: vmshib@yandex.ru

Всюду разрывная функция нескольких переменных, имеющая производную по всем направлениям во всех точках, за исключением счетных их множеств

В.М. Шибинский

Функция нескольких переменных, как и функция одной переменной, в точках разрыва не дифференцируема, но у нее могут существовать в некоторых точках разрыва частные производные и производная по отдельным направлениям. Соответствующие примеры и задачи приводятся практически во всех учебниках и задачниках, но они носят частный и локальный характер. Ниже построен пример всюду разрывной функции нескольких переменных, имеющей во всех точках, за исключением счетного их множества, частные производные и производную по всем направлениям, за исключением счетного их (направлений) множества.

Определим на всем  -мерном евклидовом пространстве  действительную функцию   действительных переменных:

,                                                   (1)

где  - определенная на всем  и всюду дифференцируемая действительная функция  действительных переменных,  - функция Дирихле, определенная на всем  и принимающая значения: 0, при  иррациональных, и 1, при  рациональных.

Произведение функций Дирихле в (1) отлично от нуля (равно единице) только в точках , все координаты которых рациональны. Далее для краткости будем называть такие точки рациональными точками. Известно, что множество  рациональных точек в  счетно. Функция (1) разрывна во всех точках , так как в любой окрестности любой точки находятся как рациональные, так и не являющиеся рациональными точки, т.е. функция  принимает в этой, сколь угодно малой, окрестности значения, отличающиеся на единицу.

Рассмотрим в  множество  прямых проходящих через заданную конечную точку  ( имеет мощность континуума), и пусть  не является рациональной точкой. Рассмотрим множество   прямых из , имеющих хотя бы одну рациональную точку. Так как у любых двух разных прямых из  нет общих рациональных точек, то множество  счетно. Таким образом, в , где  не является рациональной точкой, все прямые, за исключением счетного их множества, не содержат рациональных точек. Иными словами, прямые из множества , не содержащие  рациональных точек, располагаются по всем направлениям, за исключением счетного множества направлений. 

Далее для краткости будем называть ординарными прямые, не содержащие рациональных точек. Очевидно, что на каждой ординарной прямой функция  совпадает с дифференцируемой функцией . Следовательно, в любой точке  ординарной прямой по любому из двух взятых вдоль прямой направлений (обозначим определяющий это направление отрезок - ) существует производная .

Таким образом, всюду разрывная функция нескольких переменных (1), имеет производную по всем направлениям во всех точках, за исключением счетных их (точек и направлений) множеств.

Рассмотрим функцию  в различных точках , возможны три случая.

1. Точка  рациональная, тогда по любому направлению  производная в точке  не существует, так как функция  на любой прямой, проходящей через , имеет в этой точке разрыв.

2. Точка  имеет только одну иррациональную координату, например , тогда, очевидно, что прямые, проходящие через точку  параллельно осям координат , являются ординарными. Однако прямая, проходящая через точку  параллельно оси , ординарной не является. В силу сказанного выше, на первых  прямых в точке  существуют производные. Они, очевидно, являются частными производными . На последней прямой, в точке  производная  не существует, так как в любой окрестности точки  на этой прямой лежат рациональные точки, и, следовательно, функция имеет в точке  разрыв. Так как точка  не является рациональной, то, как было показано выше, в ней по всем направлениям , кроме счетного их множества, существует производная .

3. Точка  имеет более одной иррациональной координаты. В этом случае, все прямые, проходящие через точку  параллельно осям координат , являются ординарными. Следовательно, существуют все  частных производных  , и в точке  по всем направлениям , исключая счетное их множество, существует производная .

В последнем (третьем) случае, так как на всех прямых, проходящих через точку , параллельно осям координат и в направлении ,  функция  может быть заменена дифференцируемой функцией , определенной на всем , то выполняется известное соотношение 

 ,                                                                                  (2)

где  - вектор с координатами, равными частным производным функции  в точке  (они в данном случае совпадают с частными производными функции ), а  - единичный вектор, взятый в направлении отрезка .

Так как точки , имеющие более одной иррациональной координаты расположены в , , почти всюду, то формула (2) справедлива почти всюду в  при всех направлениях , кроме счетного их множества.