|
О сайте и обо мне
Вы можете связаться со мной по электронной почте: vmshib@yandex.ru |
СтатьиФункция построена с использованием десятичной записи аргумента . Построение выполнено в три этапа. На первом этапе строится функция, принимающая в любом интервале ненулевой длины все целые значения, большие некоторого натурального числа. На втором этапе строится функция, график которой всюду плотен в полосе . И, наконец, на третьем этапе строится функция с графиком, всюду плотным на всей плоскости . Функция построена с использованием десятичной записи аргумента (используется вся бесконечная последовательность цифр). На первом этапе строится функция, принимающая в любом непустом интервале числовой оси ОХ все значения на отрезке [0, 9] оси ОУ. На втором этапе записывается функция, принимающая там же все действительные значения. Вводится понятие адекватного иллюстративного примера, под которым понимается пример, в котором реализуются все, и только, предположения определения или теоремы. Показаны адекватные примеры, иллюстрирующие: понятия производной в точке, геометрический смысл производной в точке, теорему о непрерывности функции, имеющей производную в точке, теорему Ферма о равенстве нулю производной функции в точке, в которой функция принимает максимальное, или минимальное значение, и имеет конечную производную. Функция построена на основе представления действительных чисел десятичными дробями. Она разрывна, а, значит, не имеет производной, на множестве чисел, представимых конечными десятичными дробями (всюду плотное на числовой оси подмножество рациональных чисел), и имеет производную на множестве чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, содержащими только конечное множество цифр, равных нулю. Последнее множество также всюду плотно на числовой оси. Функция построена как сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций. Члены ряда (функции) таковы, что для любой из них, точки ее максимумов (минимумов) являются точками максимумов (минимумов) всех последующих функций. Показано, что как точки, так и значения собственных максимумов и минимумов образуют множества всюду плотные в области определения и в области значений функции, соответственно. Функция есть сумма равномерно сходящегося функционального ряда, составленного из непрерывных функций. Эти функции обладают следующим свойством: точка излома (середина отрезка линейности) некоторой функции ряда – это точка излома (середина отрезка линейности) и всех функции ряда с последующими номерами. Функция построена как сумма равномерно сходящегося функционального ряда, составленного из ступенчатых функций, принимающих каждая два значения, отличающихся знаком. Средние точки отрезков знакоположительности (знакоотрицательности) любой из этих функции, являются таковыми для всех последующих функций. Точки разрыва любой из функций есть точки разрыва для всех последующих функций. Функция построена как сумма равномерно сходящегося функционального ряда, составленного из монотонно возрастающих ступенчатых функций. Точки разрыва любой такой функции являются точками разрыва и для всех последующих функций ряда. Середины отрезков постоянства любой функции есть середины отрезков постоянства и для всех последующих функций ряда. Функция задана на отрезке [0, 1] как сумма равномерно сходящегося функционального ряда, составленного из дифференцируемых монотонно возрастающих функций. Ряд удовлетворяет условиям теоремы о почленном дифференцировании. Множество точек перегиба функции имеет меру, близкую к единице. На основном этапе построения функции любой конечной десятичной дроби х, отличной от некоторых чисел специального вида, в частности целых, ставится в соответствие конечная десятичная дробь, лежащая в интервале (0,1; 1), представляющая собой «перевернутую» дробную часть исходного числа х. Каждой бесконечной десятичной дроби и каждому числу специального вида ставится в соответствие число 0,55, совпадающее с центром интервала (0,1; 1). Построены: функция, имеющая график, всюду плотный на плоскости ОХУ; функция, принимающая в любом непустом интервале оси ОХ все действительные значения; функция, имеющая собственные максимумы, точки разрыва, производную на всюду плотных множествах. Удалось по сравнению с первыми публикациями автора построить новые примеры функций с теми же свойствами, описание которых (построение функций и доказательство их свойств) имеет примерно в три раза меньший объем. Функция определена в процессе построения фрактала. В отличие от классических примеров таких функций, данных Вейерштрассом и Ван-дер-Варденом (они основаны на использовании равномерно сходящихся функциональных рядов) построенная функция: во-первых, может приводиться в курсе анализа сразу за определением производной, во-вторых, ее график можно видеть. Самоподобие и другие свойства фракталов позволили определить с их помощью различные нетривиальные функции. В отличие от сложности и объемности доказательств свойств функций, построенных традиционными, аналитическими методами, при использовании фракталов для задания функций, доказательства стали наглядными и краткими. Функция построена с использованием функции Дирихле и того факта, что счетны множества: точек с рациональными координатами (рациональных точек); прямых, проходящих через точку, которая не является рациональной, и содержащих рациональные точки. |
Здравствуйте! 
| © 2005-2008, Шибинский Владимир Михайлович. Соглашение об использовании материалов ресурса |
|